让我们来谈谈统计 - 软件质量的统计入门（第10回 母体与样本：中心极限定理、大数定律）

“如果能够调查一切，那就完美无缺，但现实中这是不可能的”
——这不仅是质量管理的问题，而是所有调查和分析都共同面临的挑战。

在“让我们来谈谈统计”系列的第10回中，我们将介绍推断统计的基本概念“母体”和“样本”，并说明支撑推断统计核心的“中心极限定理”与“大数定律”。此外，我们还将从实际工作的角度，解读由此产生的**“抽样误差”和“偏差的风险”**。

例如：

• 在测试中记录了100个缺陷，但这真的能代表“整体的趋势”吗？
• 仅通过对某些模块的评审，就能推断整个项目的质量吗？

要面对这些问题，就需要具备“从局部推断整体”的思维方式。

在本文中，我们将以软件质量的案例为切入点，作为第一步，揭示“为何不正确处理样本会导致判断错误”。

“‘母体’和‘样本’感觉好难......”，正是希望你知道的推断统计基本知识。

在实际的业务或质量管理现场，要确认所有数据（母体）是非常困难的。
因此，我们需要从其中一部分（样本）来推断整体特征——这种“从局部解读整体”的智慧。

例如：

• 母体（Population）：作为调查对象的整体集合
  例：过去1年内登记的所有 Bug 工单（总数：18,435 件）

• 样本（Sample）：从母体中抽取的一部分数据
  例：2025年4月发生的500条缺陷数据

将其图示表示为，

$$\bar{x}_{\text{sample}} \approx \mu_{\text{population}}$$

这个公式表示“即使只有部分数据（样本），也能在一定程度上推断整体（母体）的趋势”。
从样本平均 $\bar{x}$ 来估计母体平均 $\mu$，是推断统计的基本。

就像“尝一口菜就判断整道菜的味道”一样。
如果样本的“选择方式”或“获取方式”有问题，就会错误地判断母体的实际情况。

到目前为止我们已经多次零散地提到，现在来详细说明“中心极限定理”和“大数定律”。

刚才说过“可以从样本推断母体”，那是为什么呢？
已知如果样本量足够大，样本的平均值或比例会趋近于母体的平均值或比例。
这是由统计学的基础理论——中心极限定理和大数定律所支撑。

那么，实际中“样本平均趋近于母体平均”这一现象是如何发生的，让我们来看看。

即使母体的分布严重偏斜，只要样本量足够大，样本平均的分布就会趋近于正态分布，这是统计学中非常重要的性质。

这个性质就是由中心极限定理来解释的。

• 无论母体的分布如何，只要样本量足够大（例如：$n \geq 30$），样本平均的分布就会趋近于正态分布。

换言之，即使原始数据有偏，也可将其平均值的分布视为正态分布。
这样就能使用基于正态分布前提的统计方法（估计和检验等）。

例如：即使缺陷修复时间分布偏斜，只要取足够多的样本，其平均值也会趋近于正态分布

下图从视觉上展示了中心极限定理（Central Limit Theorem）。

• 左：母体分布（指数分布）
• 右：样本平均分布（取 $n = 30$ 的样本 1000 次）

左：母体（偏斜分布）

• 使用的是 指数分布（向右偏斜的分布）
• 小于平均值的数据较多，较大数值偶尔出现

→ 这种分布显然不是正态分布。

右：样本平均的分布（$n = 30$ 的样本 1000 次抽取）

• 从偏斜的母体中抽取 $n=30$ 的样本 1000 次，计算每次的平均并绘制分布。
• 结果呈现出近似正态分布的形状（左右对称、集中在中心）。

→ 这表明了中心极限定理“样本平均的分布会趋近于正态分布”的性质。

从图中可以看出

从上述“母体”和“样本”的关系可以看出，即使原始数据不是正态分布，只要样本量足够大（如 $n \geq 30$），样本平均的分布就会趋近于正态（即中心极限定理）。

在实际工作中的意义

即使缺陷密度、修复时间、响应时间等存在偏斜，也可以对其平均值进行基于正态分布的统计分析（置信区间、检验等）。
这为“为何可以以正态分布为前提？”这一疑问提供了直观且有力的支持。

现在，刚才解释了“样本平均趋近于母体平均”，
我们进一步探究“为什么会这样？”的依据。

如果不只看单个样本，而是例如连续多次掷骰子并记录平均值，会发生什么？
次数少时平均值会有较大波动，但随着次数累积，平均值会收敛到某一数值。

保证这一现象在理论上成立的就是大数定律。

• 样本量越大，样本平均就越接近母体平均

也就是说，它保证了“随着观测次数的增加，平均值会接近真实值”的规律。

下图从视觉上展示了大数定律（Law of Large Numbers）。

• 蓝线：累计得到的样本平均
• 红色虚线：真实母体平均（μ = 100）

解读方式：

• 当样本量较小时，平均值波动较大（上下剧烈抖动）
• 随着样本量的增加，平均值收敛到红色虚线（母体平均）

该图直观地展示了“大量数据越多，平均值越接近真实平均”的大数定律。

从图中可以看出

可以看出平均值具有“虽有波动，但会逐渐接近真实值”的特性。
一次观测无法保证准确性，但重复观测则可提高精度。
之所以能在实际工作中使用统计估计（如置信区间），正是因为有这种收敛性保障。

在实际工作中的意义

不要对少量数据反应过度，关键是要确保一定的样本量。
例如，不要仅通过一次观察来判断模块的缺陷密度，而应汇集多个模块的平均缺陷密度来进行判断，这是统计学方法。

上图直观地回答了“为何能够从样本推断母体”的问题。

单凭少量样本得出结论是非常危险的，因为中心极限定理无法发挥作用，平均值的分布无法呈现正态。
反之，使用的数据（样本）越多，对平均值或比例的估计越接近“母体的真实值”，可信度也越高。
在实际工作中使用的“置信区间”和“显著性检验”等统计方法，都基于这两条定律（中心极限定理和大数定律）。

全数调查（检查母体的所有数据）是理想状态，但实际上由于以下原因很困难。

• 成本、时间、人员资源的限制
  例如，分析所有 18,000 条 Bug 工单需要大量时间和人力。

• 对实时性的需求
  在质量管理现场，需要“立即把握当前状态”。
  使用样本，可在有限时间内快速做出判断。

• 通过适当抽样，可充分推断整体情况
  根据统计学理论，使用随机且无偏的样本，能够高精度地估计母体特征（平均值、比例等）。

总之，“无需调查全部，只要巧妙地选择‘代表’，就能做出充分判断”，
这就是统计学中“样本”的威力。

“让我们来谈谈统计”第1回中，已解释了描述统计和推断统计的概要。
在第9回之前，主要基于描述统计，介绍了“直接观察”数据特征的方法。
从这里开始，我们将探讨**“从一部分（样本）推断整体（母体）”的方法，
即推断统计（Inferential Statistics）**。

在推断统计中，可进行以下估计和判断：

• 从样本平均估计母体平均 $\mu$
• 从样本比例估算整体的趋势和比例
• 判断结果是否偶然

“由于无法调查全部，要考虑能从样本中‘以多大程度’进行准确估计”，
这就是推断统计的入门。

常说“样本应是‘母体的代表’”，
但如何选择“有意义的样本（具有代表性的数据）”将直接影响推断本身的可信度。

在此介绍常见的抽样方法以及需注意的偏差。

从母体中以等概率随机抽取。
此法不易产生偏差，是最基本且值得信赖的方法。

示例：从 1000 条 Bug ID 中随机抽取 100 条

import random

# 准备1000个Bug ID（BUG-0001 ～ BUG-1000）
all_bugs = [f"BUG-{i:04d}" for i in range(1, 1001)]

# 随机抽取100个
sample = random.sample(all_bugs, 100)

# 排序后仅显示前10个
print("抽出されたバグID（上位10件）：")
for bug in sorted(sample)[:10]:
    print(bug)

输出如下：

抽取的 Bug ID（前10条）：
BUG-0007
BUG-0016
BUG-0108
BUG-0122
BUG-0123
BUG-0130
BUG-0135
BUG-0140
BUG-0143
BUG-0148

将母体按属性划分为若干层，然后从各层均等抽取。
这样能确保少数类别的意见也被体现，提高代表性。

示例：

• 从项目 A、B、C 中各抽取20条
• 针对缺陷类别（UI/性能/故障）各抽取15条

下面的示例假设项目 A、B、C 这3个层中各有40条 Bug ID，并进行从每层随机抽取10条的分层抽样。

import random
import pandas as pd

# 为各层（项目）准备40条Bug ID
strata = {
    "Project A": [f"A-{i:03d}" for i in range(1, 41)],
    "Project B": [f"B-{i:03d}" for i in range(1, 41)],
    "Project C": [f"C-{i:03d}" for i in range(1, 41)],
}

# 从各层随机抽取10条（分层抽样）
stratified_sample = []
for project, bugs in strata.items():
    sample = random.sample(bugs, 10)
    stratified_sample.extend((project, bug_id) for bug_id in sorted(sample))

# 将结果显示为DataFrame
df = pd.DataFrame(stratified_sample, columns=["層（プロジェクト）", "バグID"])
print(df)

运行结果（从各项目中各抽取10条）如下：

      层（项目）   Bug ID
0     Project A  A-006
1     Project A  A-009
2     Project A  A-011
...
13    Project B  B-010
14    Project B  B-024
...
28    Project C  C-037
29    Project C  C-039

就这样，通过分层抽样能够确保将少数群体（层）也纳入样本，从而获得具有高度代表性的样本。

抽样最可怕之处在于，一不小心就会得出“对自己有利的结论”。

■ 常见选择偏差的例子

• “仅调查质量较差时期的数据”
  → 看起来比实际更差（负向偏差）
• “只挑选成功案例”
  → 看起来比实际更好（正向偏差）

这往往在无意之间发生，是**“由偏颇数据导出偏颇结论”**的典型案例。

• 是随机选择？还是考虑分层？
• 从哪个时间段、哪个视角进行选择？

这些判断将大大影响结论的可信度。要进行有意义的统计推断，必须具备选择样本的技术（抽样）以及对其风险（偏差）的理解。

■ 错误抽样案例：对评审质量的高估

在某项目中，有个团队试图评估代码评审的质量。
他们打算“从评审记录中抽取数据，计算评审指出数的平均值”，以验证改进效果。

但他们所抽样的对象是“仅限资深工程师的评审记录”。

■ 结果：

• 平均指出数非常少，于是得出“质量非常高”的结论
• 然而，在新人成员的评审中，存在大量遗漏和形式化指出

→ 因此，评价结果与实际团队整体的评审质量相差甚远。

该案例的失败在于抽样了“缺乏代表性的样本”（即未考虑分层，仅针对某个偏颇子群体）。

错误的样本选择将直接导致错误的判断。
抽样不仅是简单的“数据提取”，更是影响决策的统计判断入口。

• 样本的“代表性”是一切的前提

  • 如果样本选择有偏，那么结论也会随之偏颇

• 务必记录并报告“抽取方法”、“调查对象的时间范围”等元信息

  • 若调查条件不明，后续无法重现或重新解读

• 以误差（波动）不可避免为前提

  • 抽样误差无法消除，因此在事先包含误差范围进行说明，是统计推断的基本做法

例如，
“不良发生率为 3.2% ± 0.4%”
以**“估计值 ± 误差”**的形式呈现，会让接收者更易于判断。

理论上定义该“误差范围”的，就是置信区间（下次将讨论）。

至此，我们讨论了“不正确选择样本会导致判断错误”，
在实际的软件质量管理现场，
如何根据目的设计母体和样本的关系也极其重要。

例如：

• 是检查所有的评审记录？还是只针对特定成员的记录？
• 是以所有故障报告为对象？还是只关注重大故障？

这样的设计将大大影响分析的视角与结果的应用方式。

下面的表格展示了在软件质量的背景下，“母体·样本·目的”如何关联的具体案例。

如此，“以何为对象，以及如何切分”，将决定分析结果本身。
处于分析“前端”的“样本设计”，正是统计质量管理中极其重要的技能。

在本文中，我们学习了作为统计推断出发点的“母体”和“样本”之间的区别，
以及将它们连接起来的理论“中心极限定理”和“大数定律”。

• “样本（Sample）”是从母体的一部分获得的数据
• 样本平均 $\bar{x}$ 是近似母体平均 $\mu$ 的估计量
• 这并非偶然，而是由“中心极限定理”和“大数定律”支撑的数学依据

此外，以下实务上的注意事项也很重要：

• 样本的选择（抽样）决定了结果本身
• 缺乏随机性的样本或偏斜数据会导致错误判断或过度自信
• 需要利用分层抽样等方法选择“具有代表性的数据”
• 若对偏差（选择性偏袒）缺乏意识，将损害分析的可信度

用一句话概括**“如果无法调查全部，就需要‘巧妙选择的能力’”**
——这就是推断统计的本质。

下期我们将学习回答“可以相信到什么程度？”这个问题的置信区间与误差的思路。

此处汇总了统计相关信息。

希望对您的数据分析有所帮助。