统计话题谈一谈 - 软件质量的统计入门（No.8 概率的直觉与计算：了解“偶然”的本质）

在「统计话题谈一谈」第8回中，将解说对「概率」的直观理解和基本计算方法，以及在质量管理现场实用的概率分布。

“为什么会有那样的缺陷？”
“只是碰巧测试没有发现而已吧？”
——用来科学地处理这种“偶然”现象的工具就是“概率”。

本文将围绕以下三种代表性分布进行解说：

• 二项分布（Binomial Distribution）
• 泊松分布（Poisson Distribution）
• 正态分布（Normal Distribution）

要正确理解这些“概率分布”，还需要触及其前提的概率论（Probability Theory）。
概率分布是“基于概率论构建的模型”，
是用来以数学形式表示“在若干次试验中成功多少次”“分布有多大”等现象的工具。

因此，本文前半将先概览概率论的基本（试验·事件·概率的定义），
后半则介绍代表性的概率分布（离散型·连续型）。

“概率论”是将随机事件发生的概率用数学方式描述·预测的理论体系。
与统计推断作为“从实际数据中得出判断的实务性手法”不同，
概率论为此提供了理论基础。

• 试验（Trial）：指因偶然因素而结果会变化的实验或操作
  例：抽一次签；对网站进行一次加载测试

• 事件（Event）：指试验结果可能发生的情况
  例：“抽中中奖签”、“发生加载错误”

[
P(A) = \frac{\text{符合事件A的情况数}}{\text{所有试验结果的总数}}
]

例如，当在10张签中有2张是中奖签时，抽到中奖签的概率为

[
P(\text{中奖}) = \frac{2}{10} = 0.2
]

• 概率分布（离散·连续）
• 条件概率
• 独立性
• 期望值·方差·标准差
• 大数定律／中心极限定理（※1） 等

由此可见，理解概率论就成了支撑统计推断前提的力量，
也是回答“为什么能从样本了解总体？”这一问题的理论基础。

一提到“概率”，你会想到什么？
骰子、扭蛋、天气预报、彩票……。
这些现象都受“偶然”影响，但我们往往将它们归为“无法预测的事件”。

然而，概率是捕捉“偶然之中规律性”的工具。
在统计学中，我们利用概率定量地判断“发生的可能性有多大”“是否不能说是不可能”。
实际上，我们每天都在无意识地进行概率判断后行动。

• “今天看起来会下雨，还是带把伞吧”
• “这个功能在发布前可能会出现缺陷”
• “上次评审被指出很多问题，这次应该会减少”

这种评估“可能发生的概率”并据此判断的能力，正是使用概率进行决策的第一步。

在软件开发中，以下场景与概率息息相关：

• 缺陷发生频率（单位时间内缺陷出现的概率）
• 测试的检测能力（发现缺陷的概率）
• 风险评估（缺陷发生概率 × 影响度）

也就是说，“概率”不仅仅是数学话题，还是用数值描述质量的通用语言。

那么，“概率”究竟是什么？
最基本的定义如下：

[
P = \frac{\text{发生模式数}}{\text{总模式数}}
]

进行10个测试用例，其中2个检测到了缺陷。
此时，“在一次测试中发现缺陷的概率”为？

• 发生模式数：2种情况（2个检测到缺陷）
• 总模式数：10种情况（测试用例总数）

[
P(\text{缺陷检测}) = \frac{2}{10} = 0.2
]

这样，将“在整体中，目标结果可能发生的程度”以比例表示的就是概率。

概率分布是以“分布”的形式展示“概率性变化的数值以何种形式出现”。
下面将分类介绍代表性的分布。

在众多概率分布中，本回将说明“二项分布”、“泊松分布”和“正态分布”。
这三种分布是连接描述统计与推断统计的核心。
掌握它们的使用场景，可以拓宽统计分析的广度，并使实务应用更顺畅。

● 二项分布

• 当存在多次“成功或失败”等二选一的试验时使用的模型。
  → 示例：当发现缺陷的概率为30%时，10次评审可以发现多少缺陷？

● 泊松分布

• 关于单位时间/单位区域内稀有事件发生频率的模型。
  → 示例：当平均每天产生2个缺陷时，某天出现5个缺陷的概率是多少？

● 正态分布

• 自然界和实务数据最易服从的分布。
  → 基于中心极限定理的性质，实务中的许多量化数据（工时、时间等）会趋近于正态分布。

“成功或失败”“有缺陷或无缺陷”等情况下，使用重复进行二选一试验的概率模型。
例如，当想研究在100次测试中能否发现缺陷时，想要得到**“在每次试验成功概率为 p 的情况下重复进行 n 次时成功次数的分布”时，就要使用二项分布**。

二项分布（Binomial Distribution）定义如下：

[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
]

• $n$：试验次数（示例：100次测试）
• $k$：成功次数（示例：发现的缺陷数量）
• $p$：单次试验成功的概率（示例：一次测试中发现缺陷的概率）

二项分布的概率称为概率质量函数（※3）（PMF: Probability Mass Function）。

这段代码用于绘制试验次数 $n = 100$、成功概率 $p = 0.1$ 的二项分布。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom

plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo'

n = 100  # 试验次数
p = 0.1  # 成功概率

x = np.arange(0, 31)
pmf = binom.pmf(x, n, p)

plt.bar(x, pmf, color='skyblue', edgecolor='black')
plt.title("二項分布（n=100, p=0.1）")
plt.xlabel("バグ検出数")
plt.ylabel("確率")
plt.tight_layout()
plt.show()

该图表示“在做100次测试时，缺陷检测数量为 k 的概率分布”。
概率最高的在10件左右，但大于20件的可能性也并非零。

二项分布绘图代码解析

• scipy.stats.binom.pmf(x, n, p)
  → 计算二项分布的概率质量函数（PMF）。
  对每个 $x$ 计算“成功次数为 $x$ 的概率”。

• x = np.arange(0, 31)
  → 将要显示的成功次数（此处为缺陷检测数量）范围设置为 0～30。

• plt.bar(...)
  → 以条形图绘制概率。

通过该图，可以直观地理解“在100次测试中，大约会检测到多少缺陷”的概率分布情况。

当某缺陷的检测概率为 10% 时，进行100次测试的情况：

• “恰好检测到10个缺陷的概率” 以及
• “检测到20个及以上的概率” 等等都可以计算。

计算检测到20个及以上缺陷的概率：

from scipy.stats import binom

n = 100
p = 0.1
P_20_or_more = 1 - binom.cdf(19, n, p) # cdf(19) 表示 P(X<=19)，所以用1减去它就得到 P(X>=20)，这样是正确的。

print(f"20件以上検出される確率：{P_20_or_more:.4f}")

计算结果为“检测到20个及以上缺陷的概率：0.0020”。

由此可见，二项分布在把握“是否发生”的重复试验全貌方面非常有效。

“每天会出现多少缺陷？”
“在1000行代码中会发生多少次崩溃？”
——在处理某一时间段或区域内的**“发生次数”**时，就会用到泊松分布。

泊松分布（Poisson Distribution）定义如下：

[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
]

• $\lambda$：单位时间段（或区域）内的平均发生次数（示例：缺陷的平均数量）
• $k$：实际发生的次数（0次、1次、2次……）

当满足以下条件时，可使用此分布：

• 想要了解在固定时间段/区域内稀有事件的发生次数时
• 事件可假设相互独立地发生时
• 单位时间（或区域）内的发生率恒定时

这段代码根据泊松分布（平均 λ=3），以条形图绘制“每天发生缺陷数量的概率分布”。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo'

λ = 3  # 平均3个/天
x = np.arange(0, 11)
pmf = poisson.pmf(x, mu=λ)

plt.bar(x, pmf, color='lightgreen', edgecolor='black')
plt.title("ポアソン分布（λ=3）")
plt.xlabel("1日に発生するバグ数")
plt.ylabel("確率")
plt.tight_layout()
plt.show()

该图表示“假设平均每天发生3个缺陷时，0～10个缺陷出现的概率”。
可以直观地确认2～4个为高频出现，6个以上则很少，这种直觉化的“波动”特征。

泊松分布绘图代码解析

• λ = 3
  → 缺陷的平均发生次数（每天3个）。

• scipy.stats.poisson.pmf(x, mu=λ)
  → 计算泊松分布的概率质量函数（PMF）。
  对每个 x 计算“每天发生 x 个缺陷的概率”。

• x = np.arange(0, 11)
  → 定义要显示的发生次数范围（0～10次）。

• plt.bar(...)
  → 用条形图绘制计算得到的概率。

在某系统中，平均每天发生3起故障。
此时，可以定量地判断以下问题：

• “今天发生5起故障的概率是多少？”
• “本周发生20起及以上故障的概率是多少？”

计算每天发生5起故障的概率：

from scipy.stats import poisson
P_5 = poisson.pmf(5, mu=3)
print(f"1日に5件の障害が発生する確率：{P_5:.4f}")

计算结果为“每天发生5起故障的概率：0.1008”。

由此可见，泊松分布有助于对稀少但有可能发生的事件（缺陷、故障、崩溃）进行定量评估。
在实务中，作为制定预防措施优先级和风险管理的基础信息非常有效。

测试执行时间、评审时间、修正工时等，许多实务数据呈现“以平均值为中心左右波动”的形态。
这种波动的典型形态就是“正态分布（Normal Distribution）”。

正态分布定义如下：

[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\Bigl(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr)
]

• $\mu$：均值
• $\sigma$：标准差

该函数描绘出以均值为中心左右对称的“钟形曲线（Bell Curve）”。
此处的 $f(x)$ 为概率密度函数（※4）（PDF: probability density function），表示“在该数值附近数据聚集的密度”（注意它并不是概率本身）。

这段代码绘制了均值50、标准差10的正态分布的钟型曲线图。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo'

mu = 50
sigma = 10
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)

plt.plot(x, y, color='darkorange')
plt.title("正規分布（μ=50, σ=10）")
plt.xlabel("値")
plt.ylabel("確率密度")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

该图可视化了均值50、标准差10的正态分布。
它在均值附近有峰值，极小/极大值的概率密度降低，呈现出“平滑”的波动形式。

正态分布绘图代码解析

• scipy.stats.norm.pdf(x, mu, sigma)
  → 计算正态分布的概率密度函数（PDF）。
  求取给定均值 $\mu$、标准差 $\sigma$ 的连续分布的“高度（密度）”。

• x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)
  → 将要显示的值（横轴）范围以平均±4σ区间分割为100个点。

在实务中，以下变量被认为近似服从正态分布：

• 评审时间：过快或过慢的情况罕见，大多数时间集中在平均值附近
• 测试执行时间：异常值较少，以平均值为中心分布
• 修改工时：除极端返工外，大致聚集在中心

对于此类变量，假定正态分布后，可进行管理图、过程能力指数、置信区间的估计。

下面通过模拟“平均30分钟的评审时间”实际分布情况，并与理论正态分布进行比较。
在实务中，可以通过此类对比直观检测异常值或趋势。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

plt.rcParams['font.family'] = 'Meiryo'

# 均值和标准差
mu = 30
sigma = 5

# 生成100条符合正态分布的评审时间数据
review_times = np.random.normal(mu, sigma, 100)

# 通过直方图可视化
plt.hist(review_times, bins=15, density=True, alpha=0.6, color='skyblue', edgecolor='black')

# 叠加理论正态分布曲线
x = np.linspace(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, 100)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)
plt.plot(x, y, 'r--', label="理論的な正規分布")

plt.title("レビュー所要時間の分布（平均30分, σ=5）")
plt.xlabel("時間（分）")
plt.ylabel("確率密度")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

通过该图，可以直观把握评审时间“与正态分布符合程度”以及“异常短/长评审”处于何位置。

正态分布在以下方面是统计分析的核心存在：

• 中心极限定理：无论总体分布如何，样本量足够大时样本均值都会趋近于正态分布
• 众多统计方法的前提：t检验、回归分析、置信区间估计（※5）等都假定正态性
• 易于理解的特性：可通过平均值 ± 标准差得到“68%数据范围”等直观解释

• 若数据极端偏态，正态分布可能不适用
• 重要结合直方图或箱线图来检验正态性
• 如有需要，可通过对数变换或Box-Cox变换等方法使数据近似正态分布

正态分布是“解读波动的镜头”。
在软件质量现场，巧妙利用这面镜头将有助于做出准确判断和改进。

• 可以对缺陷发生率及测试结果的波动进行建模
• 能定量判断“该结果是偶然还是异常？”
• 成为管理图和置信区间等推断统计的基础

• 概率是定量捕捉“偶然”的工具
• 二项分布：适用于Yes/No试验
• 泊松分布：适用于稀有事件的发生次数
• 正态分布：适用于多数自然波动

下回将讲解“正态分布及其相关：3σ规则的含义与局限”。
还将深入探讨实务中常见的“±3σ”和过程能力等内容。

这里汇总了统计相关信息。

希望能为您的数据分析提供帮助。